Dựng đa giác đều 17 cạnh
Sử dụng compa và thước kẻ
Mặc dù được mệnh danh là ông vua toán học bởi các phát minh toán học vĩ đại cống hiến cho nhân loại, Gauss luôn tự hào về việc giải bài toán sơ cấp dựng đa giác đều 17 cạnh bằng compa và thước kẻ. Thậm chí ông di chúc lại: hãy khắc hình 17 cạnh đều lên bia mộ ông.
Ông cũng là người đưa ra điều kiện cần và đủ về số cạnh của đa giác đều mà ta có thể dựng bằng compa và thước kẻ. Theo đó các đa giác đều với số cạnh 7, 9, 11, 13, 19,… không thể dựng bằng compa và thước kẻ.
Các đa giác đều với số cạnh 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 luôn dựng được bởi một học sinh phổ thông có sức học trung bình. Tuy nhiên với đa giác đều 17 cạnh việc dựng sẽ không dễ dàng và Gauss là người đầu tiên đưa ra cách dựng sau.
Cách dựng của Gauss
Dựng đa giác đều 17 cạnh (Nhấn chuột vào các nút radio bên dưới để xem tuần tự các bước dựng hình)
Ta bắt đầu bằng việc dựng đường tròn tâm O (gốc hệ trục tọa độ Descartes). Nó cắt trục tung tại A và trục hoành tại B. Dựng điểm C trên OB, sao cho OB=4OC.
1. Dựng đường tròn tâm C, bán kính CA, nó cắt trục hoành tại các điểm D và E.
2. Dựng tiếp đường tròn tâm D bán kính DA, nó cắt trục hoành tại F (xem hình dưới).
3. Đường tròn tâm E, bán kính EA cắt trục hoành tại G.
4. Đường tròn đường kính FB cắt trục tung tại J.
5. Dựng trung điểm K của OG. Đường tròn tâm J, bán kính OK cắt trục hoành tại L.
Khi đó KL chính là độ dài cạnh của đa giác đều 34 cạnh nội tiếp đường tròn (O).
6. Dựng điểm 1’ trên đường tròn (O) sao cho B1’=KL.
7. Dựng điểm 2 trên đường tròn (O) sao cho 21’=KL. Khi đó, B và 2 là các đỉnh của đa giác đều 17 cạnh cần dựng.
Ta kí hiệu đỉnh B là 1.
8. Dựng điểm đối xứng với 2 qua trục hoành, nó cũng là đỉnh của đa giác đều 17 cạnh.
9. Dựng đỉnh tiếp theo, đỉnh 3, trên (O) sao cho độ dài đoạn 23 bằng độ dài đoạn 21.
10. Dựng điểm đối xứng với 3 qua trục hoành.
11. Cứ thế tiếp tục ta sẽ dựng được các đỉnh còn lại của đa giác đều 17 cạnh.